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Unidad 2: Sistemas lineales y geometría del círculo

Sistemas de ecuaciones lineales. Área y perímetros de sectores y segmentos circulares.

Lecciones

Sistemas 2×2: dos condiciones, una solución
45 min
Modelar problemas con sistemas lineales
45 min
De ax + by = c a una recta
45 min
Relaciones lineales en dos variables y modelos
45 min
Sectores circulares: parte de un círculo
45 min
Perímetros, arcos y segmentos circulares
45 min

Diagnóstico

Preguntas disponibles: 12. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.

Resuelve el sistema 3x + 3y = -12; x - y = -2. ¿Cuál es x?
Solución: El par (-3,-1) satisface ambas ecuaciones. Por eliminación o sustitución se obtiene x=-3.
En la relación 3x + 1y = 15, calcula y cuando x=2.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=2: 6+1y=15; 1y=9; y=9/1=9.
Un sector circular tiene radio 6 cm y ángulo central 60°. Expresa su área como k·π. ¿Cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Fracción del círculo=60/360. k=(60/360)·6²=6; área=6π cm².
¿Qué par (x,y) resuelve 1x + 3y = 12 y x - y = -4?
  1. (1, 4)
  2. (0, 4)
  3. (0, 3)
  4. (4, 0)
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituir (0,4) verifica simultáneamente ambas igualdades.
En la relación 1x + 4y = 18, calcula y cuando x=4.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=4: 4+4y=18; 4y=14; y=14/4=3.5.
Un arco pertenece a un círculo de radio 8 cm y ángulo central 120°. Si la longitud es k·π, ¿cuánto vale k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: Longitud de arco=(120/360)·2π·8=5.33333π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Resuelve el sistema 1x + 3y = 20; x - y = -4. ¿Cuál es x?
Solución: El par (2,6) satisface ambas ecuaciones. Por eliminación o sustitución se obtiene x=2.
En la relación 1x + 2y = 20, calcula y cuando x=5.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=5: 5+2y=20; 2y=15; y=15/2=7.5.
Un arco pertenece a un círculo de radio 2 cm y ángulo central 90°. Si la longitud es k·π, ¿cuánto vale k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: Longitud de arco=(90/360)·2π·2=1π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
¿Qué par (x,y) resuelve 3x + 1y = 30 y x - y = 2?
  1. (9, 6)
  2. (8, 6)
  3. (6, 8)
  4. (8, 5)
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituir (8,6) verifica simultáneamente ambas igualdades.
En la relación 3x + 2y = 10, calcula y cuando x=3.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=3: 9+2y=10; 2y=1; y=1/2=0.5.
Un arco pertenece a un círculo de radio 3 cm y ángulo central 180°. Si la longitud es k·π, ¿cuánto vale k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: Longitud de arco=(180/360)·2π·3=3π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.

Evaluación de unidad

Preguntas disponibles: 20. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.

Resuelve el sistema 1x + 2y = 8; x - y = -7. ¿Cuál es x?
Solución: El par (-2,5) satisface ambas ecuaciones. Por eliminación o sustitución se obtiene x=-2.
En la relación 2x + 2y = 17, calcula y cuando x=-2.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=-2: -4+2y=17; 2y=21; y=21/2=10.5.
Un sector circular tiene radio 2 cm y ángulo central 120°. Expresa su área como k·π. ¿Cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Fracción del círculo=120/360. k=(120/360)·2²=1.33333; área=1.33333π cm².
¿Qué par (x,y) resuelve 3x + 1y = 3 y x - y = 1?
  1. (1, 0)
  2. (2, 0)
  3. (0, 1)
  4. (1, -1)
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituir (1,0) verifica simultáneamente ambas igualdades.
En la relación 1x + 1y = 23, calcula y cuando x=5.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=5: 5+1y=23; 1y=18; y=18/1=18.
Un arco pertenece a un círculo de radio 5 cm y ángulo central 90°. Si la longitud es k·π, ¿cuánto vale k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: Longitud de arco=(90/360)·2π·5=2.5π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Resuelve el sistema 3x + 1y = 7; x - y = 5. ¿Cuál es x?
Solución: El par (3,-2) satisface ambas ecuaciones. Por eliminación o sustitución se obtiene x=3.
En la relación 1x + 2y = 15, calcula y cuando x=0.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=0: 0+2y=15; 2y=15; y=15/2=7.5.
Un arco pertenece a un círculo de radio 7 cm y ángulo central 60°. Si la longitud es k·π, ¿cuánto vale k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: Longitud de arco=(60/360)·2π·7=2.33333π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
¿Qué par (x,y) resuelve 3x + 3y = 6 y x - y = -4?
  1. (0, 3)
  2. (-1, 3)
  3. (-1, 2)
  4. (3, -1)
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituir (-1,3) verifica simultáneamente ambas igualdades.
En la relación 1x + 2y = 8, calcula y cuando x=3.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=3: 3+2y=8; 2y=5; y=5/2=2.5.
Un sector circular tiene radio 4 cm y ángulo central 120°. Expresa su área como k·π. ¿Cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Fracción del círculo=120/360. k=(120/360)·4²=5.33333; área=5.33333π cm².
Resuelve el sistema 1x + 3y = 25; x - y = -3. ¿Cuál es x?
Solución: El par (4,7) satisface ambas ecuaciones. Por eliminación o sustitución se obtiene x=4.
En la relación 1x + 2y = 21, calcula y cuando x=-1.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=-1: -1+2y=21; 2y=22; y=22/2=11.
Un sector circular tiene radio 8 cm y ángulo central 120°. Expresa su área como k·π. ¿Cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Fracción del círculo=120/360. k=(120/360)·8²=21.3333; área=21.3333π cm².
¿Qué par (x,y) resuelve 1x + 1y = -7 y x - y = -3?
  1. (-2, -5)
  2. (-5, -2)
  3. (-4, -2)
  4. (-5, -3)
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituir (-5,-2) verifica simultáneamente ambas igualdades.
En la relación 2x + 4y = 12, calcula y cuando x=3.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=3: 6+4y=12; 4y=6; y=6/4=1.5.
Un arco pertenece a un círculo de radio 4 cm y ángulo central 180°. Si la longitud es k·π, ¿cuánto vale k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: Longitud de arco=(180/360)·2π·4=4π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Resuelve el sistema 3x + 3y = 18; x - y = 8. ¿Cuál es x?
Solución: El par (7,-1) satisface ambas ecuaciones. Por eliminación o sustitución se obtiene x=7.
En la relación 3x + 2y = 13, calcula y cuando x=2.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=2: 6+2y=13; 2y=7; y=7/2=3.5.

Repaso

Preguntas disponibles: 12. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.

Resuelve el sistema 1x + 2y = 2; x - y = -7. ¿Cuál es x?
Solución: El par (-4,3) satisface ambas ecuaciones. Por eliminación o sustitución se obtiene x=-4.
En la relación 3x + 4y = 16, calcula y cuando x=4.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=4: 12+4y=16; 4y=4; y=4/4=1.
Un sector circular tiene radio 2 cm y ángulo central 180°. Expresa su área como k·π. ¿Cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Fracción del círculo=180/360. k=(180/360)·2²=2; área=2π cm².
¿Qué par (x,y) resuelve 2x + 3y = 7 y x - y = 6?
  1. (5, -1)
  2. (6, -1)
  3. (-1, 5)
  4. (5, -2)
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituir (5,-1) verifica simultáneamente ambas igualdades.
En la relación 1x + 2y = 21, calcula y cuando x=3.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=3: 3+2y=21; 2y=18; y=18/2=9.
Un sector circular tiene radio 4 cm y ángulo central 90°. Expresa su área como k·π. ¿Cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Fracción del círculo=90/360. k=(90/360)·4²=4; área=4π cm².
Resuelve el sistema 2x + 3y = -4; x - y = 3. ¿Cuál es x?
Solución: El par (1,-2) satisface ambas ecuaciones. Por eliminación o sustitución se obtiene x=1.
En la relación 3x + 1y = 12, calcula y cuando x=5.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=5: 15+1y=12; 1y=-3; y=-3/1=-3.
Un sector circular tiene radio 7 cm y ángulo central 60°. Expresa su área como k·π. ¿Cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Fracción del círculo=60/360. k=(60/360)·7²=8.16667; área=8.16667π cm².
¿Qué par (x,y) resuelve 1x + 1y = 14 y x - y = 2?
  1. (9, 6)
  2. (8, 6)
  3. (8, 5)
  4. (6, 8)
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituir (8,6) verifica simultáneamente ambas igualdades.
En la relación 1x + 1y = 9, calcula y cuando x=-2.
Solución: Recupera: una ecuación mantiene la igualdad sólo si haces la misma operación en ambos lados. Usa la operación inversa para aislar la incógnita y comprueba el resultado sustituyéndolo en la igualdad original. Sustituye x=-2: -2+1y=9; 1y=11; y=11/1=11.
Un arco pertenece a un círculo de radio 7 cm y ángulo central 180°. Si la longitud es k·π, ¿cuánto vale k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: Longitud de arco=(180/360)·2π·7=7π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
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