Teorema de Pitágoras
Matemática · Unidad 3: Pitágoras, prismas, cilindros y movimientos
Qué aprenderás
- Reconocer un triángulo rectángulo.
- Identificar la hipotenusa.
- Calcular un lado usando Pitágoras.
1. Lo que aprenderás
En esta lección de teorema de pitágoras aprenderás solo lo necesario para empezar. Lee estas metas y vuelve a ellas al terminar para comprobar tu avance.
- Reconocer un triángulo rectángulo.
- Identificar la hipotenusa.
- Calcular un lado usando Pitágoras.
2. Antes de empezar
Antes de trabajar teorema de pitágoras, revisa estas ideas básicas. Si una te cuesta, repásala unos minutos y después vuelve a la lección.
- Recuerda: frecuencia es un conteo; frecuencia relativa divide ese conteo por el total; probabilidad va de 0 a 1.
- Elevar números al cuadrado.
- Calcular raíces cuadradas.
3. Idea clave
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
4. Paso a paso
Para resolver ejercicios de teorema de pitágoras, sigue estos pasos en orden. Haz uno a la vez y no avances hasta entender qué hiciste.
- 1. Encuentra el ángulo recto.
- 2. Identifica la hipotenusa: está frente al ángulo recto.
- 3. Usa a² + b² = c².
- 4. Despeja el lado que falta.
- 5. Comprueba si el resultado es razonable.
5. Ejemplo resuelto
Este ejemplo de teorema de pitágoras está resuelto sin saltarse pasos. Compáralo con el método anterior y fíjate de dónde sale cada resultado.
- Ejemplo: catetos 3 y 4
- 3² + 4² = c².
- 9 + 16 = 25.
- c = √25 = 5.
6. Ojo con estos errores
Estos errores son frecuentes al practicar teorema de pitágoras. Si aparece uno, vuelve al paso correspondiente, corrígelo y prueba nuevamente.
- Usar como hipotenusa un lado que no corresponde.
- Olvidar sacar la raíz al final.
7. Comprueba que entendiste
Antes de continuar con teorema de pitágoras, haz esta comprobación rápida. No necesitas memorizar frases: necesitas poder explicar y resolver.
- Intenta explicar con tus palabras la idea principal de teorema de pitágoras.
- Luego resuelve un ejemplo sencillo sin mirar la solución y comprueba cada paso.
8. Resumen rápido
Quédate con estas ideas de teorema de pitágoras. Son el resumen para repasar antes de hacer ejercicios o cuando tengas una duda durante una evaluación.
- Reconocer un triángulo rectángulo.
- Identificar la hipotenusa.
- En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
Actividad de desarrollo
Resuelve un ejercicio de esta lección y explica qué hiciste en cada paso.
Práctica
Un triángulo rectángulo tiene catetos 3 cm y 4 cm. Calcula la hipotenusa.
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. c=√(3²+4²)=5. Comprueba el resultado repitiendo la operación o usando la operación inversa.
Un triángulo rectángulo tiene catetos 5 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa.
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. c=√(5²+12²)=13. Comprueba el resultado repitiendo la operación o usando la operación inversa.
Un triángulo rectángulo tiene catetos 8 cm y 15 cm. Calcula la hipotenusa.
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. c=√(8²+15²)=17. Comprueba el resultado repitiendo la operación o usando la operación inversa.
Un triángulo rectángulo tiene catetos 7 cm y 24 cm. Calcula la hipotenusa.
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. c=√(7²+24²)=25. Comprueba el resultado repitiendo la operación o usando la operación inversa.
Un triángulo rectángulo tiene catetos 9 cm y 12 cm. Calcula la hipotenusa.
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. c=√(9²+12²)=15. Comprueba el resultado repitiendo la operación o usando la operación inversa.
Un triángulo rectángulo tiene catetos 12 cm y 16 cm. Calcula la hipotenusa.
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. c=√(12²+16²)=20. Comprueba el resultado repitiendo la operación o usando la operación inversa.
Una hipotenusa mide 13 cm y un cateto 5 cm. Calcula el otro cateto.
Solución: Recupera: √n es el número no negativo cuyo cuadrado da n. Para comprobar una raíz exacta, multiplica el resultado por sí mismo. b=√(13²-5²)=√144=12. Comprueba el resultado repitiendo la operación o usando la operación inversa.
Calcula la diagonal de un rectángulo de 6 cm por 8 cm.
Solución: d=√(6²+8²)=10. Comprueba el resultado repitiendo la operación o usando la operación inversa.
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es
- El lado más corto
- Cualquier cateto
- El lado frente al ángulo recto
- La altura exterior dentro del procedimiento propuesto
Solución: Está frente al ángulo de 90° y es el lado mayor.
Repaso rápido: Un estudiante cometió este error: «Sumar lados sin elevar al cuadrado». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- sumar directamente los catetos
- multiplicar los catetos
- elevar al cuadrado solo el lado mayor según la interpretación planteada
- aplicar a²+b²=c² antes de extraer la raíz de la hipotenusa
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Para corregir «Sumar lados sin elevar al cuadrado», hay que aplicar a²+b²=c² antes de extraer la raíz de la hipotenusa.
Desafío breve: Un estudiante cometió este error: «Llamar hipotenusa a cualquier lado». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- identificar como hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto
- elegir siempre el lado vertical
- elegir siempre el lado más corto
- llamar hipotenusa al primer lado dado
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Para corregir «Llamar hipotenusa a cualquier lado», hay que identificar como hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto.
Un estudiante cometió este error: «Olvidar extraer la raíz final». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- dejar c² como longitud final como criterio para resolver el caso completo
- después de hallar c², calcular la raíz cuadrada para obtener c
- dividir c² por 2
- sumar los catetos nuevamente
Solución: Recupera: √n es el número no negativo cuyo cuadrado da n. Para comprobar una raíz exacta, multiplica el resultado por sí mismo. Para corregir «Olvidar extraer la raíz final», hay que después de hallar c², calcular la raíz cuadrada para obtener c.
Comprueba tu idea: Un estudiante cometió este error: «Sumar lados sin elevar al cuadrado». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- sumar directamente los catetos
- multiplicar los catetos
- aplicar a²+b²=c² antes de extraer la raíz de la hipotenusa
- elevar al cuadrado solo el lado mayor dentro del procedimiento propuesto
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Para corregir «Sumar lados sin elevar al cuadrado», hay que aplicar a²+b²=c² antes de extraer la raíz de la hipotenusa.
Práctica guiada: Un estudiante cometió este error: «Llamar hipotenusa a cualquier lado». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- elegir siempre el lado vertical
- elegir siempre el lado más corto
- llamar hipotenusa al primer lado dado según la interpretación planteada
- identificar como hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Para corregir «Llamar hipotenusa a cualquier lado», hay que identificar como hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto.
Al revisar una solución de un compañero, un estudiante cometió este error: «Olvidar extraer la raíz final». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- después de hallar c², calcular la raíz cuadrada para obtener c
- dejar c² como longitud final
- dividir c² por 2
- sumar los catetos nuevamente
Solución: Recupera: √n es el número no negativo cuyo cuadrado da n. Para comprobar una raíz exacta, multiplica el resultado por sí mismo. Para corregir «Olvidar extraer la raíz final», hay que después de hallar c², calcular la raíz cuadrada para obtener c.
Desafío breve: Un estudiante cometió este error: «Sumar lados sin elevar al cuadrado». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- sumar directamente los catetos
- aplicar a²+b²=c² antes de extraer la raíz de la hipotenusa
- multiplicar los catetos
- elevar al cuadrado solo el lado mayor como criterio para resolver el caso completo
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Para corregir «Sumar lados sin elevar al cuadrado», hay que aplicar a²+b²=c² antes de extraer la raíz de la hipotenusa.
Repaso rápido: Un estudiante cometió este error: «Llamar hipotenusa a cualquier lado». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- elegir siempre el lado vertical
- elegir siempre el lado más corto
- identificar como hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto
- llamar hipotenusa al primer lado dado dentro del procedimiento propuesto
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Para corregir «Llamar hipotenusa a cualquier lado», hay que identificar como hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto.
En una corrección antes de entregar, un estudiante cometió este error: «Olvidar extraer la raíz final». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- dejar c² como longitud final según la interpretación planteada
- dividir c² por 2
- sumar los catetos nuevamente
- después de hallar c², calcular la raíz cuadrada para obtener c
Solución: Recupera: √n es el número no negativo cuyo cuadrado da n. Para comprobar una raíz exacta, multiplica el resultado por sí mismo. Para corregir «Olvidar extraer la raíz final», hay que después de hallar c², calcular la raíz cuadrada para obtener c.
Práctica guiada: Un estudiante cometió este error: «Sumar lados sin elevar al cuadrado». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- aplicar a²+b²=c² antes de extraer la raíz de la hipotenusa
- sumar directamente los catetos
- multiplicar los catetos
- elevar al cuadrado solo el lado mayor manteniendo esa misma decisión en el desarrollo
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Para corregir «Sumar lados sin elevar al cuadrado», hay que aplicar a²+b²=c² antes de extraer la raíz de la hipotenusa.
Comprueba tu idea: Un estudiante cometió este error: «Llamar hipotenusa a cualquier lado». ¿Qué debería hacer para corregirlo?
- elegir siempre el lado vertical
- identificar como hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto
- elegir siempre el lado más corto
- llamar hipotenusa al primer lado dado
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Para corregir «Llamar hipotenusa a cualquier lado», hay que identificar como hipotenusa el lado opuesto al ángulo recto.