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Unidad 3: Pitágoras, prismas, cilindros y movimientos

Medida, teoremas y transformaciones geométricas.

Lecciones

Área y volumen de prismas y cilindros
45 min
Teorema de Pitágoras
45 min
Transformaciones en el plano
45 min
Composición de transformaciones
45 min

Diagnóstico

Preguntas disponibles: 12. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.

Un recipiente cilíndrico tiene radio 3 cm y altura 6 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 54π cm³
  2. 18π cm³
  3. 36π cm³
  4. 54π cm²
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·3²·6=54π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Un recipiente cilíndrico tiene radio 4 cm y altura 7 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 28π cm³
  2. 112π cm³
  3. 56π cm³
  4. 112π cm²
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·4²·7=112π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Un recipiente cilíndrico tiene radio 5 cm y altura 8 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 40π cm³
  2. 80π cm³
  3. 200π cm³
  4. 200π cm²
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·5²·8=200π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Un recipiente cilíndrico tiene radio 2 cm y altura 9 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 18π cm³
  2. 72π cm³
  3. 36π cm²
  4. 36π cm³
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·2²·9=36π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Una rampa y el suelo forman un triángulo rectángulo con catetos de 5 m y 12 m. ¿Cuánto mide la rampa?
  1. 13 m
  2. 17 m
  3. 7 m
  4. 4.62 m
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Por Pitágoras, c=√(5²+12²)=13 m. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Una rampa y el suelo forman un triángulo rectángulo con catetos de 8 m y 15 m. ¿Cuánto mide la rampa?
  1. 23 m
  2. 17 m
  3. 7 m
  4. 7.06 m
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Por Pitágoras, c=√(8²+15²)=17 m. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Una rampa y el suelo forman un triángulo rectángulo con catetos de 7 m y 24 m. ¿Cuánto mide la rampa?
  1. 31 m
  2. 17 m
  3. 25 m
  4. 6.72 m
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Por Pitágoras, c=√(7²+24²)=25 m. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
El punto P(4,5) rota 90° antihorario alrededor del origen. ¿Dónde queda?
  1. (5,-4)
  2. (-4,-5)
  3. (4,-5)
  4. (-5,4)
Solución: Una rotación de 90° antihoraria usa (x,y)→(-y,x).
El punto P(5,6) se refleja respecto del eje y. ¿Cuáles son las coordenadas de su imagen?
  1. (-5,6)
  2. (5,-6)
  3. (6,5)
  4. (-5,-6)
Solución: Reflejar en el eje y cambia el signo de x.
El punto P(1,-2) se refleja respecto del eje x. ¿Cuál es su imagen?
  1. (-1,-2)
  2. (1,2)
  3. (-1,2)
  4. (2,1)
Solución: Reflejar en el eje x cambia el signo de y.
El punto P(4,3) se refleja primero en el eje y y luego se traslada (4,-1). ¿Cuál es la posición final?
  1. (8,2)
  2. (-4,3)
  3. (0,2)
  4. (-8,4)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Primero (4,3)→(-4,3); después se suma (4,-1) y resulta (0,2).
El punto P(1,4) se refleja primero en el eje y y luego se traslada (2,-1). ¿Cuál es la posición final?
  1. (3,3)
  2. (-1,4)
  3. (-3,5)
  4. (1,3)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Primero (1,4)→(-1,4); después se suma (2,-1) y resulta (1,3).

Evaluación de unidad

Preguntas disponibles: 20. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.

Resuelve las transformaciones en el orden indicado; la segunda actúa sobre la primera imagen. El punto P(2,3) se refleja primero en el eje y y luego se traslada (4,-1). ¿Cuál es la posición final?
  1. (2,2)
  2. (6,2)
  3. (-2,3)
  4. (-6,4)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Primero (2,3)→(-2,3); después se suma (4,-1) y resulta (2,2).
Resuelve las transformaciones en el orden indicado; la segunda actúa sobre la primera imagen. El punto P(3,4) se refleja primero en el eje y y luego se traslada (2,-1). ¿Cuál es la posición final?
  1. (5,3)
  2. (-1,3)
  3. (-3,4)
  4. (-5,5)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Primero (3,4)→(-3,4); después se suma (2,-1) y resulta (-1,3).
Resuelve las transformaciones en el orden indicado; la segunda actúa sobre la primera imagen. El punto P(4,5) se refleja primero en el eje y y luego se traslada (3,-1). ¿Cuál es la posición final?
  1. (7,4)
  2. (-4,5)
  3. (-1,4)
  4. (-7,6)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Primero (4,5)→(-4,5); después se suma (3,-1) y resulta (-1,4).
Resuelve las transformaciones en el orden indicado; la segunda actúa sobre la primera imagen. El punto P(1,6) se refleja primero en el eje y y luego se traslada (4,-1). ¿Cuál es la posición final?
  1. (5,5)
  2. (-1,6)
  3. (-5,7)
  4. (3,5)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Primero (1,6)→(-1,6); después se suma (4,-1) y resulta (3,5).
Resuelve las transformaciones en el orden indicado; la segunda actúa sobre la primera imagen. El punto P(2,2) se refleja primero en el eje y y luego se traslada (2,-1). ¿Cuál es la posición final?
  1. (0,1)
  2. (4,1)
  3. (-2,2)
  4. (-4,3)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Primero (2,2)→(-2,2); después se suma (2,-1) y resulta (0,1).
Aplica la transformación a las coordenadas y verifica qué signo debe cambiar. El punto P(2,-3) se refleja respecto del eje x. ¿Cuál es su imagen?
  1. (-2,-3)
  2. (2,3)
  3. (-2,3)
  4. (3,2)
Solución: Reflejar en el eje x cambia el signo de y.
Aplica la transformación a las coordenadas y verifica qué signo debe cambiar. El punto P(3,4) rota 90° antihorario alrededor del origen. ¿Dónde queda?
  1. (4,-3)
  2. (-3,-4)
  3. (-4,3)
  4. (3,-4)
Solución: Una rotación de 90° antihoraria usa (x,y)→(-y,x).
Aplica la transformación a las coordenadas y verifica qué signo debe cambiar. El punto P(4,5) se refleja respecto del eje y. ¿Cuáles son las coordenadas de su imagen?
  1. (4,-5)
  2. (5,4)
  3. (-4,-5)
  4. (-4,5)
Solución: Reflejar en el eje y cambia el signo de x.
Aplica la transformación a las coordenadas y verifica qué signo debe cambiar. El punto P(5,-6) se refleja respecto del eje x. ¿Cuál es su imagen?
  1. (5,6)
  2. (-5,-6)
  3. (-5,6)
  4. (6,5)
Solución: Reflejar en el eje x cambia el signo de y.
Aplica la transformación a las coordenadas y verifica qué signo debe cambiar. El punto P(1,2) rota 90° antihorario alrededor del origen. ¿Dónde queda?
  1. (2,-1)
  2. (-2,1)
  3. (-1,-2)
  4. (1,-2)
Solución: Una rotación de 90° antihoraria usa (x,y)→(-y,x).
Reconoce primero qué longitud es la hipotenusa y justifica con Pitágoras. Una rampa y el suelo forman un triángulo rectángulo con catetos de 14 m y 48 m. ¿Cuánto mide la rampa?
  1. 62 m
  2. 34 m
  3. 50 m
  4. 13.44 m
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Por Pitágoras, c=√(14²+48²)=50 m. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Reconoce primero qué longitud es la hipotenusa y justifica con Pitágoras. Una rampa y el suelo forman un triángulo rectángulo con catetos de 3 m y 4 m. ¿Cuánto mide la rampa?
  1. 7 m
  2. 1 m
  3. 2.4 m
  4. 5 m
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Por Pitágoras, c=√(3²+4²)=5 m. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Reconoce primero qué longitud es la hipotenusa y justifica con Pitágoras. Una rampa y el suelo forman un triángulo rectángulo con catetos de 10 m y 24 m. ¿Cuánto mide la rampa?
  1. 26 m
  2. 34 m
  3. 14 m
  4. 9.23 m
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Por Pitágoras, c=√(10²+24²)=26 m. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Reconoce primero qué longitud es la hipotenusa y justifica con Pitágoras. Una rampa y el suelo forman un triángulo rectángulo con catetos de 8 m y 15 m. ¿Cuánto mide la rampa?
  1. 23 m
  2. 17 m
  3. 7 m
  4. 7.06 m
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Por Pitágoras, c=√(8²+15²)=17 m. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
En un segundo conjunto de datos o situación, reconoce primero qué longitud es la hipotenusa y justifica con Pitágoras. Una rampa y el suelo forman un triángulo rectángulo con catetos de 14 m y 48 m. ¿Cuánto mide la rampa?
  1. 62 m
  2. 34 m
  3. 50 m
  4. 13.44 m
Solución: Recupera: en un triángulo rectángulo, los catetos forman el ángulo de 90° y la hipotenusa está frente a ese ángulo. Pitágoras dice c²=a²+b²; identifica primero qué medida corresponde a cada lado antes de reemplazar números. Por Pitágoras, c=√(14²+48²)=50 m. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Elige la fórmula tridimensional adecuada y conserva unidades cúbicas. Un recipiente cilíndrico tiene radio 2 cm y altura 5 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 10π cm³
  2. 40π cm³
  3. 20π cm²
  4. 20π cm³
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·2²·5=20π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Elige la fórmula tridimensional adecuada y conserva unidades cúbicas. Un recipiente cilíndrico tiene radio 3 cm y altura 6 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 54π cm³
  2. 18π cm³
  3. 36π cm³
  4. 54π cm²
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·3²·6=54π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Elige la fórmula tridimensional adecuada y conserva unidades cúbicas. Un recipiente cilíndrico tiene radio 4 cm y altura 7 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 28π cm³
  2. 112π cm³
  3. 56π cm³
  4. 112π cm²
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·4²·7=112π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Elige la fórmula tridimensional adecuada y conserva unidades cúbicas. Un recipiente cilíndrico tiene radio 5 cm y altura 8 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 40π cm³
  2. 80π cm³
  3. 200π cm³
  4. 200π cm²
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·5²·8=200π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
Elige la fórmula tridimensional adecuada y conserva unidades cúbicas. Un recipiente cilíndrico tiene radio 2 cm y altura 9 cm. ¿Cuál es su volumen expresado como múltiplo de π?
  1. 18π cm³
  2. 72π cm³
  3. 36π cm²
  4. 36π cm³
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. V=πr²h=π·2²·9=36π cm³. Comprueba la respuesta sustituyendo los datos o aplicando la relación matemática utilizada en el procedimiento.
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