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Principio combinatorio y probabilidad compuesta

Matemática · Unidad 4: Medidas de posición, gráficos y probabilidad

Qué aprenderás

1. Lo que aprenderás

Explicar el principio multiplicativo en situaciones de varias etapas. Esta meta se conecta con una decisión matemática concreta: identificar qué información importa, elegir una herramienta adecuada y justificar la conclusión con evidencia numérica.

2. Antes de empezar

Comprueba estas ideas antes de avanzar. Si alguna idea previa no está clara, vuelve al ejemplo correspondiente y comprueba un caso sencillo antes de continuar con la actividad principal.

3. Idea clave

Si una primera etapa tiene a opciones y por cada una existen b opciones en la segunda, hay a·b resultados posibles. Una tabla o árbol permite verificar que no falten ni se repitan resultados; después se cuentan los casos favorables para obtener una probabilidad.

4. Paso a paso

1) Identifica las etapas. 2) Cuenta opciones por etapa. 3) Multiplica cuando todas pueden combinarse. 4) Representa el espacio muestral con tabla o árbol. 5) Para una probabilidad, cuenta favorables y divide por el total cuando los resultados son equiprobables.

5. Ejemplo resuelto

Con 3 poleras y 2 pantalones hay 3·2=6 tenidas. Si se elige una tenida al azar y 2 de las 6 cumplen una condición, la probabilidad de esa condición es 2/6. Como 2 y 6 son divisibles por 2, dividimos ambos por 2: 2÷2=1 y 6÷2=3. Entonces la probabilidad es 1/3.

6. Ojo con estos errores

Una respuesta puede parecer razonable y aun así estar mal interpretada. El error más frecuente es aplicar una regla sin mirar el contexto. Compara siempre el procedimiento con la pregunta y con las unidades o datos disponibles.

7. Comprueba que entendiste

Explica el criterio usado y comprueba si la representación o procedimiento responde a la pregunta. Una comprobación completa explica por qué se eligió el método y muestra qué dato, representación o resultado permite confirmar la respuesta.

8. Resumen rápido

Principio multiplicativo → espacio muestral → casos favorables → probabilidad. La representación permite comprobar que el conteo es completo.

Actividad de desarrollo

Crea una situación de dos o tres etapas, representa cuántos resultados posibles existen y calcula la probabilidad de un evento compuesto. Explica cómo verificaste el espacio muestral.

Práctica

Un experimento tiene 4 resultados equiprobables en la primera etapa y 3 en la segunda. ¿Cuántos pares ordenados forman el espacio muestral?
  1. 12
  2. 7
  3. 10
  4. 64
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. El espacio muestral tiene 4·3=12 resultados compuestos.
Para una situación con 2 opciones en la primera etapa y 5 en la segunda, ¿qué representación permite verificar sistemáticamente todas las combinaciones?
  1. Solo sumar las cantidades de opciones
  2. Una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol completo
  3. Escribir dos combinaciones como ejemplo según la interpretación planteada
  4. Calcular un promedio de las opciones
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. Tablas y árboles permiten enumerar el espacio muestral y verificar el principio multiplicativo.
Hay 4 rutas para llegar a una estación y 4 rutas independientes para continuar al destino. ¿Cuántos recorridos completos se pueden formar?
  1. 8
  2. 4
  3. 16
  4. 20
Solución: Cada una de las 4 primeras rutas puede combinarse con 4 segundas: 16.
Un experimento compuesto tiene 6 resultados equiprobables y 2 favorecen el evento A. ¿Cuál es P(A)?
  1. 6/2
  2. 4/6
  3. 2/8
  4. 2/6
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. Procedimiento explicado: P(A)=casos favorables/casos posibles=2/6. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Una clave se forma eligiendo 1 símbolo entre 4 y luego 1 número entre 5. Todas las elecciones pueden combinarse. ¿Cuántas claves distintas hay?
  1. 20
  2. 9
  3. 19
  4. 40
Solución: Principio multiplicativo: 4·5=20. Una tabla o un árbol permite comprobar que el número de combinaciones coincide con el producto.
Un experimento tiene 2 resultados equiprobables en la primera etapa y 4 en la segunda. ¿Cuántos pares ordenados forman el espacio muestral?
  1. 6
  2. 8
  3. 9
  4. 16
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. El espacio muestral tiene 2·4=8 resultados compuestos.
Para una situación con 4 opciones en la primera etapa y 3 en la segunda, ¿qué representación permite verificar sistemáticamente todas las combinaciones?
  1. Solo sumar las cantidades de opciones
  2. Escribir dos combinaciones como ejemplo manteniendo esa misma decisión en el desarrollo
  3. Una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol completo
  4. Calcular un promedio de las opciones
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. Tablas y árboles permiten enumerar el espacio muestral y verificar el principio multiplicativo.
Hay 2 rutas para llegar a una estación y 5 rutas independientes para continuar al destino. ¿Cuántos recorridos completos se pueden formar?
  1. 7
  2. 5
  3. 12
  4. 10
Solución: Cada una de las 2 primeras rutas puede combinarse con 5 segundas: 10.
Un experimento compuesto tiene 16 resultados equiprobables y 5 favorecen el evento A. ¿Cuál es P(A)?
  1. 5/16
  2. 16/5
  3. 11/16
  4. 5/21
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. Procedimiento explicado: P(A)=casos favorables/casos posibles=5/16. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Una clave se forma eligiendo 1 símbolo entre 2 y luego 1 número entre 3. Todas las elecciones pueden combinarse. ¿Cuántas claves distintas hay?
  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 12
Solución: Principio multiplicativo: 2·3=6. Una tabla o un árbol permite comprobar que el número de combinaciones coincide con el producto.
Un experimento tiene 4 resultados equiprobables en la primera etapa y 5 en la segunda. ¿Cuántos pares ordenados forman el espacio muestral?
  1. 9
  2. 18
  3. 20
  4. 1024
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. El espacio muestral tiene 4·5=20 resultados compuestos.
Para una situación con 2 opciones en la primera etapa y 4 en la segunda, ¿qué representación permite verificar sistemáticamente todas las combinaciones?
  1. Solo sumar las cantidades de opciones
  2. Escribir dos combinaciones como ejemplo como criterio para resolver el caso completo
  3. Calcular un promedio de las opciones
  4. Una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol completo
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. Tablas y árboles permiten enumerar el espacio muestral y verificar el principio multiplicativo.
Hay 4 rutas para llegar a una estación y 3 rutas independientes para continuar al destino. ¿Cuántos recorridos completos se pueden formar?
  1. 12
  2. 7
  3. 4
  4. 16
Solución: Cada una de las 4 primeras rutas puede combinarse con 3 segundas: 12.
Un experimento compuesto tiene 10 resultados equiprobables y 3 favorecen el evento A. ¿Cuál es P(A)?
  1. 10/3
  2. 3/10
  3. 7/10
  4. 3/13
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. Procedimiento explicado: P(A)=casos favorables/casos posibles=3/10. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Una clave se forma eligiendo 1 símbolo entre 4 y luego 1 número entre 4. Todas las elecciones pueden combinarse. ¿Cuántas claves distintas hay?
  1. 8
  2. 15
  3. 16
  4. 32
Solución: Principio multiplicativo: 4·4=16. Una tabla o un árbol permite comprobar que el número de combinaciones coincide con el producto.
Un experimento tiene 2 resultados equiprobables en la primera etapa y 3 en la segunda. ¿Cuántos pares ordenados forman el espacio muestral?
  1. 5
  2. 4
  3. 8
  4. 6
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. El espacio muestral tiene 2·3=6 resultados compuestos.
Para una situación con 4 opciones en la primera etapa y 5 en la segunda, ¿qué representación permite verificar sistemáticamente todas las combinaciones?
  1. Una tabla de doble entrada o un diagrama de árbol completo
  2. Solo sumar las cantidades de opciones
  3. Escribir dos combinaciones como ejemplo
  4. Calcular un promedio de las opciones
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. Tablas y árboles permiten enumerar el espacio muestral y verificar el principio multiplicativo.
Hay 2 rutas para llegar a una estación y 4 rutas independientes para continuar al destino. ¿Cuántos recorridos completos se pueden formar?
  1. 6
  2. 8
  3. 4
  4. 10
Solución: Cada una de las 2 primeras rutas puede combinarse con 4 segundas: 8.
Un experimento compuesto tiene 12 resultados equiprobables y 4 favorecen el evento A. ¿Cuál es P(A)?
  1. 12/4
  2. 8/12
  3. 4/12
  4. 4/16
Solución: Recupera: una probabilidad compara casos favorables con casos posibles cuando corresponda. Antes de operar, decide si los eventos pueden ocurrir juntos y si uno cambia o no la probabilidad del otro. Procedimiento explicado: P(A)=casos favorables/casos posibles=4/12. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Una clave se forma eligiendo 1 símbolo entre 2 y luego 1 número entre 5. Todas las elecciones pueden combinarse. ¿Cuántas claves distintas hay?
  1. 7
  2. 9
  3. 20
  4. 10
Solución: Principio multiplicativo: 2·5=10. Una tabla o un árbol permite comprobar que el número de combinaciones coincide con el producto.

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