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Unidad 1: Potencias, productos notables y cono

Productos notables. Potencias con exponente entero. El cono.

Lecciones

Operaciones racionales sin perder el signo
45 min
Problemas y estrategias con números racionales
45 min
Potencias racionales y exponentes enteros
45 min
Propiedades de potencias en situaciones de cambio
45 min
Productos notables: ver el patrón
45 min
Productos notables para transformar expresiones
45 min
Del desarrollo plano al área del cono
45 min
Volumen del cono y resolución de problemas
45 min

Diagnóstico

Preguntas disponibles: 12. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.

Calcula (2/5) × (4).
Solución: Recupera: una fracción a/b significa a dividido por b. Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; para dividir por una fracción se multiplica por su recíproco. Multiplica numeradores y conserva el denominador: 2×4/5 = 8/5.
Simplifica y calcula (2/3)^2 ÷ (2/3)^2.
  1. 1
  2. 0
  3. 4/9
  4. 16/81
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Misma base: se restan exponentes, 2-2=0; resultado 1.
¿Cuál es el desarrollo de (5x + 2)²?
  1. 25x² - 20x + 4
  2. 25x² + 10x + 4
  3. 25x² + 4
  4. 25x² + 20x + 4
Solución: Recupera: (A+B)² significa (A+B)(A+B). Al distribuir aparecen A², AB, BA y B²; como AB+BA=2AB, queda A²+2AB+B². (A+B)²=A²+2AB+B². Aquí: 25x² + 20x + 4.
Cono de radio 3 cm y altura 6 cm. Si V=k·π cm³, ¿cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: V=(1/3)πr²h=(1/3)π·3²·6=18π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Calcula -5/2 + (4/3). Escribe el resultado como fracción o decimal.
Solución: Recupera: para sumar o restar fracciones los denominadores deben representar partes del mismo tamaño. Busca un denominador común y convierte cada fracción multiplicando numerador y denominador por el mismo número. Busca denominador común y suma: -5/2 + (4/3) = -7/6.
Calcula (4/5)^(-3).
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Exponente negativo: invierte la base y eleva: resultado 125/64.
¿Cuál es el producto (5x+8)(5x-8)?
  1. 25x² + 64
  2. 25x² - 64
  3. 25x² + 80x + 64
  4. 25x² - 80x + 64
Solución: Recupera: (A+B)(A−B) se distribuye como A²−AB+AB−B²; los términos −AB y +AB se cancelan, por eso queda A²−B². Es una suma por diferencia: A²-B² = 25x²-64.
Cono recto de radio 6 cm, altura 7 cm y generatriz √(6²+7²). Si el área total es k·π, calcula k (usa la generatriz exacta o decimal).
Solución: Procedimiento explicado: l=√(85)≈9.2195. A=πr²+πrl=π(36+6·9.2195)≈91.3173π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Calcula (3/6) × (4).
Solución: Recupera: una fracción a/b significa a dividido por b. Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; para dividir por una fracción se multiplica por su recíproco. Multiplica numeradores y conserva el denominador: 3×4/6 = 2.
Calcula (-2/3)^(-1).
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Exponente negativo: invierte la base y eleva: resultado -3/2.
¿Cuál es el desarrollo de (1x + 1)²?
  1. 1x² + 1x + 1
  2. 1x² + 2x + 1
  3. 1x² + 1
  4. 1x² - 2x + 1
Solución: Recupera: (A+B)² significa (A+B)(A+B). Al distribuir aparecen A², AB, BA y B²; como AB+BA=2AB, queda A²+2AB+B². (A+B)²=A²+2AB+B². Aquí: 1x² + 2x + 1.
Cono recto de radio 2 cm, altura 7 cm y generatriz √(2²+7²). Si el área total es k·π, calcula k (usa la generatriz exacta o decimal).
Solución: Procedimiento explicado: l=√(53)≈7.2801. A=πr²+πrl=π(4+2·7.2801)≈18.5602π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.

Evaluación de unidad

Preguntas disponibles: 20. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.

Calcula 1 + (1). Escribe el resultado como fracción o decimal.
Solución: Recupera: para sumar o restar fracciones los denominadores deben representar partes del mismo tamaño. Busca un denominador común y convierte cada fracción multiplicando numerador y denominador por el mismo número. Busca denominador común y suma: 1 + (1) = 2.
Simplifica y calcula (2/3)^4 ÷ (2/3)^1.
  1. 32/243
  2. 3
  3. 16/81
  4. 8/27
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Misma base: se restan exponentes, 4-1=3; resultado 8/27.
¿Cuál es el producto (4x+4)(4x-4)?
  1. 16x² + 32x + 16
  2. 16x² - 16
  3. 16x² + 16
  4. 16x² - 32x + 16
Solución: Recupera: (A+B)(A−B) se distribuye como A²−AB+AB−B²; los términos −AB y +AB se cancelan, por eso queda A²−B². Es una suma por diferencia: A²-B² = 16x²-16.
Cono recto de radio 4 cm, altura 7 cm y generatriz √(4²+7²). Si el área total es k·π, calcula k (usa la generatriz exacta o decimal).
Solución: Procedimiento explicado: l=√(65)≈8.0623. A=πr²+πrl=π(16+4·8.0623)≈48.2490π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Calcula (2/3) × (-3).
Solución: Recupera: una fracción a/b significa a dividido por b. Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; para dividir por una fracción se multiplica por su recíproco. Multiplica numeradores y conserva el denominador: 2×-3/3 = -2.
Simplifica y calcula (-2/3)^3 ÷ (-2/3)^3.
  1. 64/729
  2. 1
  3. 0
  4. 8/27
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Misma base: se restan exponentes, 3-3=0; resultado 1.
¿Cuál es el desarrollo de (3x + 6)²?
  1. 9x² + 18x + 36
  2. 9x² - 36x + 36
  3. 9x² + 36
  4. 9x² + 36x + 36
Solución: Recupera: (A+B)² significa (A+B)(A+B). Al distribuir aparecen A², AB, BA y B²; como AB+BA=2AB, queda A²+2AB+B². (A+B)²=A²+2AB+B². Aquí: 9x² + 36x + 36.
Cono recto de radio 2 cm, altura 3 cm y generatriz √(2²+3²). Si el área total es k·π, calcula k (usa la generatriz exacta o decimal).
Solución: Procedimiento explicado: l=√(13)≈3.6056. A=πr²+πrl=π(4+2·3.6056)≈11.2111π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Calcula (7/2) × (-3).
Solución: Recupera: una fracción a/b significa a dividido por b. Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; para dividir por una fracción se multiplica por su recíproco. Multiplica numeradores y conserva el denominador: 7×-3/2 = -21/2.
Simplifica y calcula (-2/3)^3 ÷ (-2/3)^2.
  1. 32/243
  2. 1
  3. 8/27
  4. 2/3
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Misma base: se restan exponentes, 3-2=1; resultado -2/3.
¿Cuál es el desarrollo de (2x + 1)²?
  1. 4x² + 2x + 1
  2. 4x² + 4x + 1
  3. 4x² + 1
  4. 4x² - 4x + 1
Solución: Recupera: (A+B)² significa (A+B)(A+B). Al distribuir aparecen A², AB, BA y B²; como AB+BA=2AB, queda A²+2AB+B². (A+B)²=A²+2AB+B². Aquí: 4x² + 4x + 1.
Cono recto de radio 3 cm, altura 8 cm y generatriz √(3²+8²). Si el área total es k·π, calcula k (usa la generatriz exacta o decimal).
Solución: Procedimiento explicado: l=√(73)≈8.5440. A=πr²+πrl=π(9+3·8.5440)≈34.6320π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Calcula 6/5 + (4). Escribe el resultado como fracción o decimal.
Solución: Recupera: para sumar o restar fracciones los denominadores deben representar partes del mismo tamaño. Busca un denominador común y convierte cada fracción multiplicando numerador y denominador por el mismo número. Busca denominador común y suma: 6/5 + (4) = 26/5.
Simplifica y calcula (3/2)^3 ÷ (3/2)^2.
  1. 27/8
  2. 243/32
  3. 3/2
  4. 1
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Misma base: se restan exponentes, 3-2=1; resultado 3/2.
¿Cuál es el producto (5x+1)(5x-1)?
  1. 25x² + 1
  2. 25x² - 10x + 1
  3. 25x² - 1
  4. 25x² + 10x + 1
Solución: Recupera: (A+B)(A−B) se distribuye como A²−AB+AB−B²; los términos −AB y +AB se cancelan, por eso queda A²−B². Es una suma por diferencia: A²-B² = 25x²-1.
Cono de radio 4 cm y altura 7 cm. Si V=k·π cm³, ¿cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: V=(1/3)πr²h=(1/3)π·4²·7=37.3333π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Calcula (5/5) × (2).
Solución: Recupera: una fracción a/b significa a dividido por b. Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; para dividir por una fracción se multiplica por su recíproco. Multiplica numeradores y conserva el denominador: 5×2/5 = 2.
Simplifica y calcula (2/3)^3 ÷ (2/3)^2.
  1. 8/27
  2. 2/3
  3. 32/243
  4. 1
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Misma base: se restan exponentes, 3-2=1; resultado 2/3.
¿Cuál es el producto (2x+8)(2x-8)?
  1. 4x² - 64
  2. 4x² - 32x + 64
  3. 4x² + 32x + 64
  4. 4x² + 64
Solución: Recupera: (A+B)(A−B) se distribuye como A²−AB+AB−B²; los términos −AB y +AB se cancelan, por eso queda A²−B². Es una suma por diferencia: A²-B² = 4x²-64.
Cono recto de radio 5 cm, altura 4 cm y generatriz √(5²+4²). Si el área total es k·π, calcula k (usa la generatriz exacta o decimal).
Solución: Procedimiento explicado: l=√(41)≈6.4031. A=πr²+πrl=π(25+5·6.4031)≈57.0156π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.

Repaso

Preguntas disponibles: 12. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.

Calcula (2/2) × (2).
Solución: Recupera: una fracción a/b significa a dividido por b. Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; para dividir por una fracción se multiplica por su recíproco. Multiplica numeradores y conserva el denominador: 2×2/2 = 2.
Simplifica y calcula (2/3)^4 ÷ (2/3)^2.
  1. 64/729
  2. 2
  3. 4/9
  4. 16/81
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Misma base: se restan exponentes, 4-2=2; resultado 4/9.
¿Cuál es el desarrollo de (2x + 5)²?
  1. 4x² + 25
  2. 4x² - 20x + 25
  3. 4x² + 10x + 25
  4. 4x² + 20x + 25
Solución: Recupera: (A+B)² significa (A+B)(A+B). Al distribuir aparecen A², AB, BA y B²; como AB+BA=2AB, queda A²+2AB+B². (A+B)²=A²+2AB+B². Aquí: 4x² + 20x + 25.
Cono recto de radio 4 cm, altura 10 cm y generatriz √(4²+10²). Si el área total es k·π, calcula k (usa la generatriz exacta o decimal).
Solución: Procedimiento explicado: l=√(116)≈10.7703. A=πr²+πrl=π(16+4·10.7703)≈59.0813π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Calcula (3/3) × (-2).
Solución: Recupera: una fracción a/b significa a dividido por b. Para multiplicar fracciones se multiplican numeradores entre sí y denominadores entre sí; para dividir por una fracción se multiplica por su recíproco. Multiplica numeradores y conserva el denominador: 3×-2/3 = -2.
Simplifica y calcula (4/5)^2 ÷ (4/5)^2.
  1. 1
  2. 0
  3. 256/625
  4. 16/25
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Misma base: se restan exponentes, 2-2=0; resultado 1.
¿Cuál es el desarrollo de (5x + 1)²?
  1. 25x² + 10x + 1
  2. 25x² + 5x + 1
  3. 25x² - 10x + 1
  4. 25x² + 1
Solución: Recupera: (A+B)² significa (A+B)(A+B). Al distribuir aparecen A², AB, BA y B²; como AB+BA=2AB, queda A²+2AB+B². (A+B)²=A²+2AB+B². Aquí: 25x² + 10x + 1.
Cono recto de radio 3 cm, altura 4 cm y generatriz √(3²+4²). Si el área total es k·π, calcula k (usa la generatriz exacta o decimal).
Solución: Procedimiento explicado: l=√(25)≈5.0000. A=πr²+πrl=π(9+3·5.0000)≈24.0000π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
Calcula -2/3 + (1). Escribe el resultado como fracción o decimal.
Solución: Recupera: para sumar o restar fracciones los denominadores deben representar partes del mismo tamaño. Busca un denominador común y convierte cada fracción multiplicando numerador y denominador por el mismo número. Busca denominador común y suma: -2/3 + (1) = 1/3.
Calcula (3/2)^(-3).
Solución: Recupera: una potencia repite factores iguales. Al multiplicar potencias de la misma base se juntan los factores y se suman exponentes; al dividir se cancelan factores comunes y se restan exponentes. Un exponente negativo indica el recíproco. Exponente negativo: invierte la base y eleva: resultado 8/27.
¿Cuál es el desarrollo de (5x + 4)²?
  1. 25x² - 40x + 16
  2. 25x² + 20x + 16
  3. 25x² + 16
  4. 25x² + 40x + 16
Solución: Recupera: (A+B)² significa (A+B)(A+B). Al distribuir aparecen A², AB, BA y B²; como AB+BA=2AB, queda A²+2AB+B². (A+B)²=A²+2AB+B². Aquí: 25x² + 40x + 16.
Cono de radio 3 cm y altura 7 cm. Si V=k·π cm³, ¿cuál es k?
Solución: Recupera: antes de usar una fórmula identifica cada variable y su unidad. El radio va del centro al borde y el diámetro mide dos radios; en áreas las unidades quedan al cuadrado y en volúmenes al cubo. Procedimiento explicado: V=(1/3)πr²h=(1/3)π·3²·7=21π. Comprueba cada paso con los datos y la consigna antes de concluir.
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