Unidad 3: Homotecia y sus aplicaciones
Homotecia y sus aplicaciones.
Lecciones
Vectores y homotecia
45 min
Diagnóstico
Preguntas disponibles: 12. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=2 transforma P=(-4,-2). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(-8,-4); por tanto x′=-8.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 3/9 = 5/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 3x=45; x=45/3=15.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=2. Un lado de la figura menor mide 10 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 2·10 = 20 cm.
¿Cuál es -2·(5,2)?
- (3, 0)
- (5, -4)
- (-10, 2)
- (-10, -4)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (-10,-4).
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=-2 transforma P=(2,-1). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(-4,2); por tanto x′=-4.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 6/7 = 5/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 6x=35; x=35/6=35/6.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=2.5. Un lado de la figura menor mide 3 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 2.5·3 = 7.5 cm.
¿Cuál es 2·(-3,-5)?
- (-6, -10)
- (-6, -5)
- (-1, -3)
- (-3, -10)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (-6,-10).
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=-2 transforma P=(-3,-2). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(6,4); por tanto x′=6.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 5/4 = 7/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 5x=28; x=28/5=28/5.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=2.5. Un lado de la figura menor mide 5 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 2.5·5 = 12.5 cm.
¿Cuál es 4·(-5,3)?
- (-20, 3)
- (-1, 7)
- (-20, 12)
- (-5, 12)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (-20,12).
Evaluación de unidad
Preguntas disponibles: 20. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=-1.5 transforma P=(1,2). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(-1.5,-3); por tanto x′=-1.5.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 3/6 = 6/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 3x=36; x=36/3=12.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=2. Un lado de la figura menor mide 9 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 2·9 = 18 cm.
¿Cuál es 4·(3,-5)?
- (3, -20)
- (7, -1)
- (12, -5)
- (12, -20)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (12,-20).
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=0.5 transforma P=(1,-2). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(0.5,-1); por tanto x′=0.5.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 2/3 = 4/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 2x=12; x=12/2=6.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=3. Un lado de la figura menor mide 2 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 3·2 = 6 cm.
¿Cuál es -2·(-2,-1)?
- (4, -1)
- (-4, -3)
- (4, 2)
- (-2, 2)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (4,2).
Un punto está a 10 cm del centro de una homotecia de razón k=2. ¿A qué distancia del centro queda su imagen?
Solución: Las distancias al centro se multiplican por |k|=2: 10·2=20 cm.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 5/6 = 5/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 5x=30; x=30/5=6.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=4. Un lado de la figura menor mide 7 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 4·7 = 28 cm.
¿Cuál es -3·(1,4)?
- (1, -12)
- (-3, 4)
- (-3, -12)
- (-2, 1)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (-3,-12).
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=-2 transforma P=(-1,1). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(2,-2); por tanto x′=2.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 3/5 = 7/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 3x=35; x=35/3=35/3.
En un plano a escala 1:100, un muro mide 9 cm. ¿Cuántos metros representa en la realidad?
Solución: 9·100=900 cm reales = 9 m.
¿Cuál es 4·(2,5)?
- (6, 9)
- (8, 20)
- (2, 20)
- (8, 5)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (8,20).
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=-1.5 transforma P=(2,2). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(-3,-3); por tanto x′=-3.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 8/4 = 3/x. Calcula x.
Solución: Recupera: simplificar no cambia el valor de la fracción; debes dividir numerador y denominador por el mismo divisor común mayor que 1. Producto cruzado: 8x=12; x=12/8. Para simplificar 12/8, divide numerador y denominador por 4: 12÷4=3 y 8÷4=2. Resultado: x=3/2.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=2.5. Un lado de la figura menor mide 2 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 2.5·2 = 5 cm.
¿Cuál es 2·(1,-4)?
- (2, -8)
- (1, -8)
- (2, -4)
- (3, -2)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (2,-8).
Repaso
Preguntas disponibles: 12. En Smart TV se muestran como material de práctica con solución desplegable.
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=-1.5 transforma P=(1,-3). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(-1.5,4.5); por tanto x′=-1.5.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 7/8 = 5/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 7x=40; x=40/7=40/7.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=1.5. Un lado de la figura menor mide 10 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 1.5·10 = 15 cm.
¿Cuál es 0.5·(2,5)?
- (1, 5)
- (1, 2.5)
- (2, 2.5)
- (2.5, 5.5)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (1,2.5).
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=3 transforma P=(-4,-4). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(-12,-12); por tanto x′=-12.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 5/8 = 4/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 5x=32; x=32/5=32/5.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=2.5. Un lado de la figura menor mide 12 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 2.5·12 = 30 cm.
¿Cuál es -2·(3,1)?
- (-6, 1)
- (-6, -2)
- (1, -1)
- (3, -2)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (-6,-2).
Una homotecia de centro O=(0,0) y razón k=-1.5 transforma P=(-4,1). ¿Cuál es la coordenada x de P′?
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. P′=kP=(6,-1.5); por tanto x′=6.
En una configuración de Tales con rectas paralelas, segmentos correspondientes cumplen 7/9 = 4/x. Calcula x.
Solución: Recupera: en una proporción a/b=c/d, ambas fracciones representan el mismo valor; al multiplicar ambos lados por b·d se obtiene a·d=b·c. Esa igualdad permite despejar la incógnita paso a paso. Producto cruzado: 7x=36; x=36/7=36/7.
Dos figuras son semejantes con razón de longitudes k=1.5. Un lado de la figura menor mide 8 cm. ¿Cuánto mide el correspondiente en la mayor?
Solución: Longitud mayor = 1.5·8 = 12 cm.
¿Cuál es -3·(2,-2)?
- (2, 6)
- (-1, -5)
- (-6, -2)
- (-6, 6)
Solución: Recupera: en una transformación de coordenadas aplica la misma regla a cada punto. Una traslación suma un vector; una homotecia multiplica las coordenadas respecto del centro según el factor indicado. Multiplica ambas componentes: (-6,6).